DID（差分の差分法）

ランダム化実験ができない観察データから、時間トレンドやグループ間の属性差（交絡）を排除して因果効果を測定するDID（差分の差分法）の考え方と、平行トレンド仮定の意味を学びます。

できるようになること

• 「グループ間の固有差」と「共通の時間トレンド」が引き起こすバイアスを説明できる
• 差分の差分法（DID）の計算式を理解し、実際のデータから効果量を算出できる
• 平行トレンド仮定の意味と、それが崩れた場合に生じる影響を説明できる
• DIDと他の比較手法（単純前後比較、前年同期比較など）の仮定の違いを説明できる

社員食堂の減塩メニューと血圧

ある企業が、社員の健康状態を改善するために、本社の社員食堂で「減塩メニュー」を導入しました。

導入前（10月：秋）と導入後（1月：冬）で社員の平均血圧を比較したところ、減塩メニューを導入したにもかかわらず、社員の平均血圧が上昇しているというデータが得られました。

この結果は、「減塩メニューには効果がなかった」あるいは「かえって健康を悪化させた」ことを意味するでしょうか。

実際にはそうとは言えません。ここには、冬の寒さによって血管が収縮し血圧が上昇するという、一般的に知られる生理学的な季節変動（共通の時間トレンド）が交絡している可能性があります。

このように、時間とともに変化するデータから純粋な因果効果を測定するために、対照群を用いて時間トレンドを相殺する手法が**差分の差分法（**DID：Difference-in-Differences）です。

二重のバイアスとDIDの定義

介入効果を正確に測定しようとするとき、私たちの前に立ちはだかる交絡（バイアス）は、大きく次の2つに分類できます。

1. グループ間の固有差（グループの不均一性）
   • 処置群（メニューを導入したグループ）と対照群（導入していないグループ）が、もともと持っているベースライン（水準）の差です。これは「時間経過によって変化しない」固有の属性差です。
   • 例：東京本社の社員と大阪支社の社員の、もともとの平均血圧の差（食習慣や地域差など）。
2. 共通の時間トレンド
   • 介入の有無にかかわらず、時間の経過に伴って発生する変化です。これは「グループ間で共通している」マクロな変動です。
   • 例：秋から冬にかけての季節変化による血圧の上昇、景気変動、年をまたいだ全体の推移など。

もし、処置群だけで「導入前と導入後」を比較すると、共通の時間トレンド（冬の寒さ）がバイアスとなり、効果を見誤ります。 また、ある一時点（1月）で「処置群と対照群」を比較すると、両者がもともと持つグループ間の固有差がバイアスとなります。

DIDは、これら2つのバイアスを「差の差」を取ることで同時に相殺する手法です。

数理的な定義

処置群を $T$（東京本社 $= 1$、大阪支社 $= 0$）、期間を $Post$（事後である1月 $= 1$、事前である10月 $= 0$）と表します。各グループの平均値を $\bar{Y}$ とすると、DID推定量 $\delta$ は次のように定義されます。

$\delta = (\bar{Y}_{T=1, Post=1} - \bar{Y}_{T=1, Post=0}) - (\bar{Y}_{T=0, Post=1} - \bar{Y}_{T=0, Post=0})$

これは、「処置群（東京）の前後変化」から「対照群（大阪）の前後変化」を差し引いたものです。なお、減塩の文脈のように「血圧の低下」を目指す場合、効果が有効であればDID推定量は負の値（マイナス）になります。

モデル式で表すと、何が起きているかがより明確になります。ある個人 $i$ の血圧 $Y_i$ が以下の構造で決まっていると仮定します。

$Y_i = \beta_0 + \beta_1 T_i + \beta_2 Post_i + \beta_3 (T_i \times Post_i) + u_i$

ここで：

• $\beta_0$ は全体のベースラインです。
• $\beta_1$ は**グループ間の固有差（**大阪に対する東京の血圧の高さ）を表します。
• $\beta_2$ は**共通の時間トレンド（**秋から冬への血圧の上昇幅）を表します。
• $\beta_3$ は、処置群かつ事後期間であるときにのみ発生する純粋な介入効果を表します。
• $u_i$ はランダムな誤差です。

この式から、各グループにおいてランダムな誤差 $u_i$ の平均（期待値）がゼロになると仮定し、4つの平均値を計算して「差の差」を展開してみましょう（※以降、$\bar{Y}_{T=1, Post=1}$ を $\bar{Y}_{1, 1}$ のように略記します）。

• 処置群（東京本社）の前後変化： $(\bar{Y}_{1, 1} - \bar{Y}_{1, 0}) = (\beta_0 + \beta_1 + \beta_2 + \beta_3) - (\beta_0 + \beta_1) = \beta_2 + \beta_3$ （※時間トレンド $\beta_2$ と介入効果 $\beta_3$ の双方が含まれています）
• 対照群（大阪支社）の前後変化： $(\bar{Y}_{0, 1} - \bar{Y}_{0, 0}) = (\beta_0 + \beta_2) - \beta_0 = \beta_2$ （※時間トレンド $\beta_2$ のみが含まれています）

最後に、この2つの変化量の差を取ります。

$\delta = (\beta_2 + \beta_3) - \beta_2 = \beta_3$

このように、「差の差」を取ることによって、グループ間の固有差（$\beta_1$）と共通の時間トレンド（$\beta_2$）の双方が数式上で綺麗に相殺され、純粋な介入効果（$\beta_3$）だけが取り出されます。

反事実の推定

DIDの背後にあるのは、因果推論における**反事実（**counterfactual）という考え方です。

因果効果を測定する最も理想的な方法は、「減塩メニューを導入した東京本社の1月の血圧」と、「もし東京本社で減塩メニューを導入しなかった場合の、同じ東京本社の1月の血圧（反事実）」を比較することです。しかし、現実には同じ対象について「導入した事実」と「導入しなかった事実」を同時に観測することはできません。

そこで、DIDでは対照群（大阪支社）のデータを使って反事実を推定します。

大阪支社の社員の平均血圧が、10月の $118 \text{ mmHg}$ から1月の $126 \text{ mmHg}$ へと、この期間に $+8 \text{ mmHg}$ 上昇したとします。

もし東京本社で減塩メニューを導入しなかったなら、東京本社の平均血圧も大阪支社と同じ幅（$+8 \text{ mmHg}$）だけ上昇していたはずだと考えます。10月の東京本社の平均血圧が $125 \text{ mmHg}$ だったとすれば、1月の反事実は $125 + 8 = 133 \text{ mmHg}$ になります。

実際の1月の東京本社の血圧が $129 \text{ mmHg}$ であったなら、反事実である $133 \text{ mmHg}$ と比較して、血圧が実質的に $4 \text{ mmHg}$ 抑制されたことになります。

$\text{因果効果} = \text{観測された結果} (129) - \text{反事実の推測} (133) = -4 \text{ mmHg}$

このように、対照群は「もし介入がなかったら処置群がどうなっていたか」という反事実のトレンドを示す役割を担っています。

平行トレンド仮定

DIDが正しく機能するためには、非常に重要な前提条件があります。それが**平行トレンド仮定（**parallel trends assumption）です。

平行トレンド仮定とは、「もし介入が行われなかったら、処置群と対照群の平均値は、時間の経過とともに同じ幅だけ変化（平行に推移）していたはずである」という仮定です。

この仮定が成り立つからこそ、対照群の変化量（大阪の $+8 \text{ mmHg}$）を、処置群の反事実の変化量として代用できます。

平行トレンド仮定が崩れる例

もし、どちらか一方のグループだけに、介入と同タイミングで発生した独自の外部イベント（ショック）があった場合、この仮定は崩れます。

• 例1（処置群の汚染）: 減塩メニューの導入と全く同じ11月に、東京本社だけで独自の「階段利用促進キャンペーン」が開始された。この場合、血圧の抑制が食事によるものか、運動によるものか区別できなくなります。
• 例2（対照群の汚染）: 12月に大阪支社だけでインフルエンザが猛流行し、多くの社員の体調が一時的に悪化した。この場合、大阪支社の血圧変化は、東京本社の「介入がなかった場合のトレンド」を代表できなくなります。

平行トレンド仮定が崩れている場合、DIDによって算出された効果にはバイアスが混入し、間違った結論を導いてしまいます。

DIDと他の比較手法の使い分け

因果効果を測定するアプローチには複数の方法があります。それぞれの特徴と仮定の違いを整理しましょう。

使い分けの判断基準

• DIDが最も適しているとき:
  • 前年から今年にかけての経済変動や、秋から冬への季節変動など、「時間の経過に伴う共通のトレンド（マクロな変動）」が存在し、かつそれがゼロであるとは言いきれないとき。DIDはトレンドの大きさをデータから自動的に相殺できるため、非常にロバスト（頑健）です。
• 他の単純比較（t検定など）の方が適しているとき:
  • 適切な対照群が存在しない、あるいは対照群のデータが取得できないとき。
  • 対照群のデータが他イベントで汚染されており、「平行トレンド仮定」が明らかに崩れていることが分かっているとき。もしマクロなトレンドが無視できるほど小さいと仮定できるなら、汚染された対照群を使うDIDよりも、東京だけの前後比較（t検定）の方が安全です。
  • サンプルサイズが非常に小さく、ノイズが大きいとき。DIDは4つの平均値の差を計算するため、t検定に比べて結果のばらつき（標準誤差）が大きくなりやすいです。トレンドが皆無であることが保証されているなら、単純比較の方が統計的な検出力を高く保てます。

回帰分析によるDIDの実行

実務においてDIDを実行する際は、前述の平均値の単純な引き算よりも、**重回帰分析（**OLS：Ordinary Least Squares）を用いるのが一般的です。

$Y_i = \beta_0 + \beta_1 T_i + \beta_2 Post_i + \beta_3 (T_i \times Post_i) + \sum_{k=1}^K \gamma_k X_{ki} + u_i$

回帰分析を使用する主なメリットは以下の2点です。

1. 共変量（コントロール変数）の追加:
   • 社員の年齢、性別、初期の血圧などの個人属性 $X_{ki}$ をモデルに含めて調整できます。これにより、両グループのサンプル構成のわずかなズレによる影響を抑え、推定値の精度を高める（標準誤差を小さくする）ことができます。
2. 標準誤差とp値の同時算出:
   • 回帰モデルを実行することで、介入効果を示す交互作用項の係数 $\beta_3$ の点推定値だけでなく、その標準誤差やp値、信頼区間を直接得ることができ、仮説検定（効果が統計的に有意かどうか）を容易に行えます。

よくある誤解

まとめ

DID（差分の差分法）は、ランダム化ができない観察データにおいて、時間経過によって変化しない「グループ間の固有差」と、グループ間で共通する「時間トレンド」という二重のバイアスを同時に排除するための因果推論手法です。

その妥当性は、介入がなかった場合に両グループが平行に推移したはずであるという「平行トレンド仮定」に依存しています。

分析の目的や対照群の汚染状況、マクロな時間トレンドの有無に応じて、DIDと他の単純比較（t検定など）を正しく使い分けることが、信頼性の高い意思決定に繋がります。