幾何分布

初めて成功するまで、何回かかるか

できるようになること

• 幾何分布の前提を確認し、使えるかどうかを判断できる
• $P(X=k) = (1-p)^{k-1} p$ を使って確率を計算できる
• 無記憶性の意味を説明できる

不良品はいつ見つかるか

ある工場で、製品を1個ずつ検査していきます。不良品率は5%です。

二項分布では「100個のうち何個が不良か」を考えました。試行回数が $n = 100$ と決まっていて、その中の成功回数を数えます。

ここでは問いが変わります。「何個目で初めて不良品が見つかるか」です。

今度は試行回数が決まっていません。1個目で見つかるかもしれないし、50個目かもしれません。「初めて成功するまでの試行回数」を確率変数として扱う分布が幾何分布（geometric distribution）です。

なお、幾何分布では「目的の事象が起きること」を慣習的に「成功」と呼びます。今回は「不良品を見つけること」が検査の目的なので、不良品の発見が「成功」にあたります。

幾何分布とは何か

1回の試行で成功確率が $p$ のベルヌーイ試行を繰り返し、初めて成功するまでの試行回数を確率変数 $X$ とします。

この $X$ が幾何分布に従うとき、次のように書きます。

$X \sim \mathrm{Geo}(p)$

$X$ は1以上の整数値をとります（最低でも1回は試行が必要なため）。

二項分布との違い

幾何分布と二項分布はどちらもベルヌーイ試行に基づきますが、何が固定で何が変数かが異なります。

幾何分布が成り立つための前提

幾何分布を使うためには、二項分布と共通する前提が必要です。

二項分布では「試行回数が固定」という前提がありましたが、幾何分布では試行回数そのものが確率変数なので、この前提は不要です。

前提が怪しいときの確認ポイント

前提1：成功／失敗の2択に整理できているか

検査結果が「良品・要修正・不良品」のように3段階以上ある場合、そのままでは2択になりません。目的に合わせて「成功」を定義し直し、2択にできるかを検討します。

前提2：成功確率 $p$ は途中で変わっていないか

製造ラインが長時間稼働すると不良率が上がることがあります。この場合、初期に検査する製品と後半の製品で $p$ が異なるため、幾何分布の前提が崩れます。

ロットや時間帯ごとに不良率を確認し、$p$ が安定しているかを検証します。

前提3：独立だと言える根拠はあるか

同じ素材ロットから作られた製品は、1つに欠陥があると他にも欠陥が出やすいことがあります。こうした場合、試行間に依存関係があり、独立の前提が怪しくなります。

試行間に共通の要因がないかを確認します。

幾何分布の確率計算

前提が成り立つとき、$k$ 回目に初めて成功する確率は次の式で計算できます。

$P(X=k) = (1-p)^{k-1} \, p \qquad (k = 1, 2, 3, \ldots)$

各項の意味は次のとおりです。

• $(1-p)^{k-1}$：最初の $k-1$ 回がすべて失敗する確率
• $p$：$k$ 回目に成功する確率

前提3（独立）より、各試行の確率を掛け合わせることができます。そのため「$k-1$ 回連続で失敗」と「$k$ 回目に成功」の確率の積で表せます。

成功確率 $p$ の値によって、分布の形が変わります。

$k = 1$ のとき（1回目で成功）が最も確率が高く、$k$ が大きくなるほど確率は減少します。$p$ が大きいほど早い段階に集中し、$p$ が小さいほどなだらかに減少していきます。

例：不良品率 $p = 0.05$ のとき、ちょうど3個目で初めて不良品が見つかる確率は、

$P(X=3) = (1 - 0.05)^{3-1} \times 0.05 = 0.95^2 \times 0.05 = 0.045125$

例：$p = 0.2$ のとき、何回目が起こりやすいか

$p = 0.2$ のとき、各 $k$ の確率を並べます。

確率の合計は1になるか

確率質量関数を $k = 1$ から $\infty$ まで足すと、

$\sum_{k=1}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} (1-p)^{k-1} \, p = p \sum_{k=0}^{\infty} (1-p)^k$

$0 < p \leq 1$ のとき $|1-p| < 1$ なので、等比級数の公式より、

$p \cdot \dfrac{1}{1 - (1-p)} = p \cdot \dfrac{1}{p} = 1$

となり、確率の合計が1であることが確認できます。

期待値と分散

$X \sim \mathrm{Geo}(p)$ のとき、

• 期待値：$E[X] = \dfrac{1}{p}$
• 分散：$\mathrm{Var}(X) = \dfrac{1-p}{p^2}$

例：不良品率が5%（$p = 0.05$）なら、初めて不良品が見つかるまでの平均回数は $\dfrac{1}{0.05} = 20$ 回です。直感的にも「20個に1個の割合なら、平均20個で見つかる」と納得できます。

期待値の導出

$E[X] = \sum_{k=1}^{\infty} k \, (1-p)^{k-1} \, p = p \sum_{k=1}^{\infty} k \, (1-p)^{k-1}$

ここで、等比級数の和の公式 $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \dfrac{1}{1-r}$ を $r$ で微分すると得られる $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} k \, r^{k-1} = \dfrac{1}{(1-r)^2}$（$|r| < 1$）を使うと、

$= p \cdot \dfrac{1}{(1-(1-p))^2} = p \cdot \dfrac{1}{p^2} = \dfrac{1}{p}$

分散の導出

$E[X(X-1)]$ を求めます。

$E[X(X-1)] = \sum_{k=1}^{\infty} k(k-1) \, (1-p)^{k-1} \, p = p(1-p) \sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) \, (1-p)^{k-2}$

$\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1) \, r^{k-2} = \dfrac{2}{(1-r)^3}$ を使うと、

$= p(1-p) \cdot \dfrac{2}{p^3} = \dfrac{2(1-p)}{p^2}$

$E[X^2] = E[X(X-1)] + E[X] = \dfrac{2(1-p)}{p^2} + \dfrac{1}{p} = \dfrac{2(1-p) + p}{p^2} = \dfrac{2 - p}{p^2}$

$\mathrm{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \dfrac{2 - p}{p^2} - \dfrac{1}{p^2} = \dfrac{1 - p}{p^2}$

無記憶性

幾何分布には無記憶性（memorylessness）という特別な性質があります。

「すでに $s$ 回失敗した後、さらに $t$ 回以上かかる確率」は、「最初から $t$ 回以上かかる確率」と同じになります。

$P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t)$

具体例：不良品率5%の検査で、19個調べても不良品が見つかりませんでした。「あと5個以内に見つかる確率」は、最初から「5個以内に見つかる確率」と変わりません。

「もう19個も調べたのだから、そろそろ見つかるはず」と感じるかもしれませんが、各試行が独立で成功確率が一定であるかぎり、過去の結果は未来に影響しません。この感覚はギャンブラーの誤謬と呼ばれる代表的な認知の歪みです。

無記憶性の確認

$P(X > n)$ を求めます。$X > n$ は「最初の $n$ 回がすべて失敗」を意味するので、

$P(X > n) = (1-p)^n$

条件付き確率の定義より、

$P(X > s + t \mid X > s) = \dfrac{P(X > s + t \text{ かつ } X > s)}{P(X > s)}$

$X > s + t$ であれば当然 $X > s$ も満たすため、分子は単に $P(X > s + t)$ となります。

$= \dfrac{P(X > s + t)}{P(X > s)} = \dfrac{(1-p)^{s+t}}{(1-p)^s} = (1-p)^t = P(X > t)$

指数分布との対比

指数分布の単元で「連続型分布の中で無記憶性を持つのは指数分布だけ」と学びました。

実は、離散型分布の中で無記憶性を持つのは幾何分布だけです。

どちらも「各試行（時点）が独立で、成功（発生）の確率が一定」という同じ前提に基づいています。幾何分布は離散的に数える場合、指数分布は連続的に時間を測る場合に使い分けます。

まとめ

幾何分布 $\mathrm{Geo}(p)$ は、成功確率 $p$ のベルヌーイ試行を繰り返したとき、初めて成功するまでの試行回数を表す離散分布です。

$P(X=k) = (1-p)^{k-1} \, p$

期待値は $\dfrac{1}{p}$、分散は $\dfrac{1-p}{p^2}$ です。

代表的な特徴は無記憶性で、過去の失敗回数が今後の確率に影響しません。離散型分布の中で無記憶性を持つのは幾何分布だけであり、これは連続型における指数分布と対をなす性質です。

使う前に 3つの前提（2択・成功確率一定・独立） を確認してください。