指数化と成長率（幾何平均）

「掛け算で積み重なるデータ」に合った平均と、基準時点で揃える比較法

難易度 Lv 3 / 10想定時間：約20分

できるようになること

算術平均が成長率・比率に不適切な理由を説明できる
幾何平均を計算し、年平均成長率を求められる
基準時点を100に揃える「指数化」の手法を理解し、系列を比較できる

「年平均10%成長」は本当か

ある企業が、1年目に+50%、2年目に−30%の売上変動を経験しました。

算術平均で成長率を求めると、 $(+50\% + (-30\%)) / 2 = +10\%$ です。

これだけ見ると「年平均10%成長した」と言えそうです。しかし実際に計算してみましょう。

100万円の売上が1年目に50%増えると150万円、2年目に30%減ると105万円です。 2年間で100万円 → 105万円ですから、実際の成長率は2年間でわずか5%。年平均に直すと約2.5%にすぎません。

算術平均の+10%は過大評価です。 なぜこうなるのでしょうか。

足し算の平均が使えないデータ

算術平均は「足し算で積み重なる」データに適した平均です。

テスト5回の平均点、毎日の気温の平均 — これらは「合計 ÷ 個数」で意味のある代表値になります。

一方、成長率や利回りは「掛け算で積み重なる」データです。

$100 \times 1.50 \times 0.70 = 105$

売上の推移は「前年 × 倍率」の積で決まります。このような「掛け算の世界」に足し算の平均を持ち込むとズレが生じます。

幾何平均とは

掛け算で積み重なるデータには、幾何平均（geometric mean）を使います。

$n$ 個の正の値 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ の幾何平均は、

$G = (x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n)^{1/n} = \left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{1/n}$

算術平均が「足してから $n$ で割る」のに対し、幾何平均は「掛けてから $n$ 乗根を取る」操作です。

補足

対数を取ると、積が和に変わります。 $\log G = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \log x_i$ なので、「対数を取って算術平均を求め、指数関数で元に戻す」という手順でも幾何平均が得られます。値が大きい場合や個数が多い場合に便利です。

例：年平均成長率を幾何平均で求める

先ほどの企業（1年目 +50%、2年目 −30%）を幾何平均で計算します。

まず成長率を「倍率」（ $1 +$ 成長率）に直します。+50% → 1.50、−30% → 0.70 です。幾何平均の公式に代入する $x_i$ は、成長率そのもの（0.50 や −0.30）ではなく、この倍率です。

$G = (1.50 \times 0.70)^{1/2} = (1.05)^{1/2} = \sqrt{1.05} \approx 1.0247$

年平均倍率は約 1.0247、つまり年平均成長率は約 +2.47% です。

検算します。 $100 \times 1.0247^2 \approx 100 \times 1.05 = 105$ で、実際の最終値と一致します。

もう一つの例：3年間の成長率

ある国のGDP成長率が、1年目 +3%、2年目 +5%、3年目 +1% だったとします。

倍率に直すと 1.03、1.05、1.01 です。

$G = (1.03 \times 1.05 \times 1.01)^{1/3} = (1.092315)^{1/3} \approx 1.02990$

年平均成長率は約 +2.99% です。算術平均の $3.0\%$ とほぼ同じですが、これは変動幅が小さいためです。変動が大きくなるほど両者の差は開きます（次節参照）。

算術平均 ≥ 幾何平均

正の値に対して、常に次の関係が成り立ちます。

$\text{算術平均} \geq \text{幾何平均}$

等号が成り立つのは、すべての値が等しいとき（変動ゼロ）だけです。変動が大きいほど、算術平均と幾何平均の乖離は広がります。

このため、成長率を算術平均で計算すると常に過大評価になります。先ほどの例（算術平均 +10% vs 幾何平均 +2.47%）は、その極端なケースにあたります。

指数化とは

幾何平均は、指数化されたデータから年平均変化率を求める際にも使います。まず指数化の考え方を整理しましょう。

GDP、物価、株価など、値の大きさが全く異なるデータを並べても、そのままでは変化の度合いを比較できません。

そこで、ある時点を基準（= 100）として、他の時点の値を基準からの比で表す方法が指数化（indexing）です。

$\text{指数} = \frac{\text{当該時点の値}}{\text{基準時点の値}} \times 100$

例：消費者物価指数（CPI）

消費者物価指数（CPI）は、標準的な商品・サービスの組合せ（消費バスケット）の費用を基準年 = 100 として指数化したものです。

年	消費バスケットの費用（円）	CPI（2020年=100）
2020	10,000	100.0
2021	10,200	102.0
2022	10,600	106.0
2023	11,000	110.0

CPI が 110.0 であれば、「2020年と比べて物価が10%上昇した」と直感的に読み取れます。

指数化の使いどころ

指数化は以下の場面でよく使われます。

物価指数（CPI、企業物価指数）：基準年 = 100 で物価の変動を追跡
株価指数（日経225、S&P500）：構成銘柄の価格変動を指数で表現
GDP指数：実質GDPの推移を基準年で比較
売上や来客数：特定の月を100として季節変動を把握

異なるスケールのデータを「基準時点からの変化率」に統一できるため、系列間の比較が容易になります。

指数化と幾何平均の関係

指数化されたデータから年平均変化率を求めるとき、幾何平均が活躍します。ビジネスや金融の実務ではこの値を CAGR（Compound Annual Growth Rate：年平均成長率）と呼びます。

例えば、上の表でCPIが3年間で100 → 110 に変化しました。毎年の倍率（ $\frac{102}{100} \times \frac{106}{102} \times \frac{110}{106}$ ）を掛け合わせると、途中の年の値が約分されて消え、 $\frac{110}{100}$ だけが残ります。そのため、始点と終点だけで計算できます。

$G = \left(\frac{110}{100}\right)^{1/3} = (1.10)^{1/3} \approx 1.0323$

年平均の物価上昇率は約 +3.23% です。

注意

始点と終点の比を使う場合、期間数は「データ点の数 − 1」です。4つのデータ点（2020〜2023年）があれば、変化が起きた期間は3つなので $1/3$ 乗を取ります。

よくある誤解

注意

誤解1：成長率の平均は算術平均で出せる — 成長率は掛け算で積み重なるため、算術平均では過大評価になります。幾何平均を使ってください。
誤解2：指数の差がそのまま変化率になる — 指数が110から120に上がったとき、「10%上昇」ではありません。変化率は $120/110 \approx 1.091$ なので約 9.1%です。指数の差（10ポイント）と変化率（%）は異なるので、常に比で計算してください。

まとめ

成長率や利回りなど「掛け算で積み重なるデータ」の平均には、算術平均ではなく幾何平均を使います。

$G = (x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n)^{1/n}$

算術平均は常に幾何平均以上になるため、成長率を算術平均で計算すると過大評価になります。

一方、異なるスケールのデータを比較するには指数化（基準時点 = 100）が有効です。指数化されたデータから年平均変化率を求める際にも、幾何平均を用います。