中心極限定理

母集団がどんな分布でも、標本平均は正規分布に近づく

難易度 Lv 3 / 10想定時間：約25分

できるようになること

中心極限定理の内容と成立条件を正確に説明できる
標本平均の標準化の手順を理解できる
中心極限定理がなぜ推測統計の基盤となるかを説明できる

大数の法則の「その先」

前の単元で、大数の法則を学びました。サンプルサイズ $n$ を大きくすれば、標本平均 $\bar{X}_n$ は母平均 $\mu$ に確率収束します。

$\bar{X}_n \xrightarrow{P} \mu$

これは「平均がどこに落ち着くか」を教えてくれますが、次の問いに答えてくれません。

「標本平均は母平均からどれくらいの幅でばらつくのか？そのばらつきはどんな形をしているのか？」

たとえば、100人の身長の平均をとったとき、その平均が母平均から $\pm 0.5$ cm 以内に入る確率はどれくらいでしょうか。この問いに答えるには、標本平均の分布の形を知る必要があります。

中心極限定理（Central Limit Theorem, CLT）は、その答えを与えます。

中心極限定理

ポイント

中心極限定理

$X_1, X_2, \ldots, X_n$ が独立で同じ分布に従い（i.i.d.）、 $E[X_i] = \mu$ 、 $V[X_i] = \sigma^2$ （ $0 < \sigma^2 < \infty$ ）のとき、

$Z_n = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

は $n \to \infty$ で標準正規分布 $N(0, 1)$ に分布収束します。

同じことを標本平均で書くと、 $n$ が十分大きいとき、

$\bar{X}_n \;\dot{\sim}\; N\!\left(\mu,\; \frac{\sigma^2}{n}\right)$

この定理の本質

中心極限定理がなぜ「驚異的」と呼ばれるかの核心は、母集団の分布を問わない点にあります。

サイコロの出目（離散一様分布）
指数分布（右に長い裾）
ベルヌーイ分布（0か1だけ）

どんな分布であっても、標本平均は正規分布に近づきます。母集団の形がわからなくても、標本平均の分布は予測できるのです。

標準化の意味

中心極限定理で登場する $Z_n$ は、標本平均を標準化したものです。

$Z_n = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$

この変換は2つのステップからなります。

中心化： $\bar{X}_n - \mu$ （期待値を $0$ にする）
尺度変換： $\sigma / \sqrt{n}$ で割る（標準偏差を $1$ にする）

標準化によって、サンプルサイズや元の分布に依存しない「共通の尺度」で比較できるようになります。

正規近似の精度

中心極限定理は「 $n$ が十分大きければ」という条件を含みますが、「十分」とはどれくらいでしょうか。

母集団の分布	近似が良好になる目安
正規分布	$n = 1$ で正確に成立する（正規分布の平均は正規分布）
左右対称で裾が短い分布	$n \geq 10$ 程度
やや歪んだ分布	$n \geq 30$ 程度
極端に歪んだ分布（指数分布など）	$n \geq 50$ 〜 $100$ 程度

「 $n \geq 30$ なら正規近似できる」 という経験則はよく使われますが、母集団の歪みが大きいほど、より大きな $n$ が必要になります。

具体例：サイコロの出目の平均

サイコロの出目は $\mu = 3.5$ 、 $\sigma^2 = 35/12$ 、 $\sigma \approx 1.71$ です。

$n = 36$ 回投げたときの標本平均の分布を、中心極限定理で近似してみましょう。

$\bar{X}_{36} \;\dot{\sim}\; N\!\left(3.5,\; \frac{35/12}{36}\right) = N(3.5,\; 0.081)$

標準偏差は $\sqrt{0.081} \approx 0.285$ です。

「平均が $3.5 \pm 0.5$ の範囲に入る確率」を計算すると、

$P(3.0 \leq \bar{X}_{36} \leq 4.0) = P\!\left(\frac{3.0 - 3.5}{0.285} \leq Z \leq \frac{4.0 - 3.5}{0.285}\right) = P(-1.75 \leq Z \leq 1.75) \approx 0.92$

つまり、36回投げれば平均が $3.0$ から $4.0$ の範囲に入る確率は約 $92\%$ です。

補足

チェビシェフの不等式（大数の法則の単元）を同じ条件に適用すると、 $P(|\bar{X}_{36} - 3.5| \geq 0.5) \leq 35/12 \div (36 \times 0.25) = 0.324$ となり、上限は約 $68\%$ （= $1 - 0.324$ ）にとどまります。中心極限定理を使うことで、 $92\%$ というはるかに精度の高い評価が得られます。

中心極限定理の前提条件

中心極限定理が成り立つには、以下の条件が必要です。

独立同分布（i.i.d.）： $X_1, X_2, \ldots, X_n$ が独立で同じ分布に従う
分散が有限： $0 < \sigma^2 < \infty$

注意

分散が無限大の分布（例：コーシー分布）では中心極限定理は成り立ちません。コーシー分布から標本を取ると、標本平均の分布は $n$ を増やしても正規分布に近づきません。

中心極限定理と推測統計

中心極限定理がなぜ推測統計の基盤となるのかを整理します。

推測統計で行いたいのは、「標本から母集団について語る」ことです。

$\text{標本平均 } \bar{X}_n \longrightarrow \text{母平均 } \mu \text{ について推論}$

中心極限定理のおかげで、 $n$ が十分大きければ次のことが言えます。

標本平均は正規分布に従う → 確率の計算ができる
母平均からのずれの幅が $\sigma / \sqrt{n}$ でわかる → 信頼区間が作れる
「母平均がこの値である」という仮説を確率で検証できる → 仮説検定ができる

このように、中心極限定理は推定と検定のすべての計算の土台です。

よくある誤解

注意

「中心極限定理は母集団が正規分布のときだけ成り立つ」

逆です。母集団がどんな分布でも（分散が有限なら）、標本平均は正規分布に近づきます。正規分布でない母集団に対しても使えるからこそ、この定理は強力なのです。

注意

「個々のデータ $X_i$ が正規分布に近づく」

中心極限定理が正規分布に近づくと言っているのは標本平均 $\bar{X}_n$ の分布であり、個々のデータ $X_i$ の分布ではありません。サイコロの出目は何回投げても $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ の離散分布のままですが、その「平均値」は正規分布に近づきます。

まとめ

中心極限定理は、母集団の分布によらず、標本平均の分布は正規分布に近づくことを示す定理です。

$Z_n = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)$

大数の法則が「平均がどこに収束するか」を教えるのに対し、中心極限定理は「平均がどんな形で分布するか」を教えてくれます。この定理のおかげで、母集団の分布が未知でも標本平均に基づく確率計算が可能になり、信頼区間の構成や仮説検定はこの定理の上に成り立っています。