二項分布の正規近似

nが大きいとき、二項分布を正規分布で置き換える

できるようになること

• 二項分布を正規分布で近似できる理由を説明できる
• 連続修正の意味と使い方を理解できる
• 近似が有効な条件（$np \geq 5$ かつ $n(1-p) \geq 5$）を判断できる

「1000回中520回」をどう評価するか

ある世論調査で1000人に賛否を聞いたところ、520人が「賛成」と答えました。「賛成が多数派か」を統計的に判断するには、もし本当に賛成率が50%（$p = 0.5$）だとして、520人以上が賛成になる確率を求める必要があります。

賛成した人数を $X$ とすると、$X \sim B(1000, 0.5)$ です。求めたいのは $P(X \geq 520)$ ですが、これを二項分布の式で直接計算するには

$P(X \geq 520) = \sum_{k=520}^{1000} {}_{1000}C_k \cdot 0.5^{1000}$

という481個の項を計算して合計する必要があります。${}_{1000}C_{520}$ のような巨大な組合せ数を含むこの計算は、手作業では現実的ではありません。

二項分布を正規分布で近似すれば、この計算を標準正規分布表の参照だけで済ませられます。

なぜ正規分布で近似できるのか

二項分布 $B(n, p)$ に従う確率変数 $X$ は、独立なベルヌーイ試行の和として表せます。

$X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n \quad (X_i \sim \text{Bernoulli}(p))$

各 $X_i$ は確率 $p$ で1、確率 $1-p$ で0をとる独立な確率変数です。中心極限定理により、分散が有限な独立な確率変数の和は $n$ が大きいとき正規分布に近づきます。ベルヌーイ分布の分散 $p(1-p)$ は有限なので、$n$ が大きいとき

$X \sim N(np, \, np(1-p)) \quad (\text{近似})$

と近似できます。つまり、二項分布の期待値 $np$ と分散 $np(1-p)$ を持つ正規分布で置き換えるということです。

標準化すると、

$Z = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \sim N(0, 1) \quad (\text{近似})$

となり、標準正規分布表を使って確率を求められます。

連続修正

二項分布は離散的（$X$ は0, 1, 2, …の整数値しか取らない）ですが、正規分布は連続的です。この違いを補正するのが連続修正（continuity correction）です。

離散的な確率 $P(X = k)$ は、正規分布上では $k - 0.5$ から $k + 0.5$ までの面積に対応します。区間を広げる方向は「その整数を含みたい側」に合わせます。$P(X \geq k)$ は $k$ を下から含みたいので下限を $k - 0.5$ に、$P(X \leq k)$ は $k$ を上から含みたいので上限を $k + 0.5$ にします。

連続修正の考え方は「整数 $k$ を、区間 $[k - 0.5, \, k + 0.5]$ に広げて考える」ということです。$P(X \geq 520)$ なら $k = 520$ を含む必要があるので、下限を $520 - 0.5 = 519.5$ にします。

近似が使える条件

正規近似はいつでも使えるわけではありません。$n$ が小さかったり $p$ が0や1に非常に近かったりすると、二項分布の形が正規分布から大きくずれます。

一般的に使われる目安は次の条件です。

$np \geq 5 \quad \text{かつ} \quad n(1-p) \geq 5$

この条件は「成功が平均5回以上、失敗も平均5回以上は期待できる」という意味です。

冒頭の問いに答える

世論調査の問題に戻ります。$X \sim B(1000, 0.5)$ のとき、$P(X \geq 520)$ を正規近似で求めます。

Step 1：条件の確認

$np = 1000 \times 0.5 = 500 \geq 5$、$n(1-p) = 500 \geq 5$ なので、正規近似は使えます。

Step 2：標準化（連続修正あり）

$P(X \geq 520)$ を求めるので、$k = 520$ から $-0.5$ して

$Z = \frac{519.5 - 500}{\sqrt{1000 \times 0.5 \times 0.5}} = \frac{19.5}{\sqrt{250}} = \frac{19.5}{15.81} \approx 1.23$

Step 3：確率の計算

$P(X \geq 520) \approx P(Z \geq 1.23) = 1 - \Phi(1.23)$

標準正規分布表から $\Phi(1.23) \approx 0.8907$ なので、

$P(X \geq 520) \approx 1 - 0.8907 = 0.1093$

つまり、もし賛成率が本当に50%なら、1000人中520人以上が賛成になる確率は約11%です。有意水準5%では棄却できませんが、10%ならかなり微妙なラインです。なお連続修正なしでは $Z \approx 1.27$、$P \approx 0.102$ となり、$n = 1000$ では差はわずかです。

まとめ

二項分布 $B(n, p)$ は、$n$ が十分に大きいとき正規分布 $N(np, \, np(1-p))$ で近似できます。これは中心極限定理の特殊ケースであり、ベルヌーイ試行の和が正規分布に近づくことから導かれます。

近似を使うかどうかは $np \geq 5$ かつ $n(1-p) \geq 5$ を目安に判断します。離散を連続で近似する際には ±0.5 の連続修正を加えると精度が上がりますが、$n$ が大きければ省略しても影響はわずかです。