正規分布

真ん中付近に集まりやすいデータを扱う

できるようになること

• $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ の $\mu$ と $\sigma$ がグラフの形に与える影響を説明できる
• 標準化 $Z = (X - \mu) / \sigma$ を使って正規分布の確率を計算できる
• 68.3%・95.4%・99.7%の目安を、正規分布を仮定したときの話として使える

なぜ同じ形の分布がいたるところに現れるのか

テストの点数、身長、測定誤差のように、値が真ん中付近に集まり、両端に行くほど少なくなるデータがあります。 この「中心が高く、左右に広がる」形を数式で表した代表が正規分布（normal distribution）です。

正規分布を仮定すると、「ある範囲に入る確率」を同じ手順で計算できるようになります。 たとえば「80点以上の確率」や「平均から±20の範囲に入る割合」といった問いに答えやすくなります。

正規分布の書き方

連続型の確率変数 $X$ が、平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の正規分布に従うとき、次のように書きます。 $\sigma$ は標準偏差、$\sigma^2$ は分散です。

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$

確率密度関数

正規分布の確率密度関数は次の形です。式そのものを暗記する必要はありません。 実務上は「$\mu$ と $\sigma$ の2つで形が決まる」 ことと、「左右対称で、中心から離れるほど小さくなる」 ことが分かっていれば十分な場面が多いです。

$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\!\left(-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

平均 $\mu$ と標準偏差 $\sigma$ がグラフに与える影響

正規分布の形は、次の2点で把握できます。

• $\mu$（平均）：分布の中心を決めます。$\mu$ が大きいほど、グラフ全体が右に移動します。
• $\sigma$（標準偏差）：分布の広がりを決めます。$\sigma$ が大きいほど横に広がり、山は低く見えます。$\sigma$ が小さいほど横に狭まり、山は高く見えます。

また、正規分布は $\mu$ を中心に左右対称です。 このため、最頻値・中央値・平均が一致します。

「どれぐらいの範囲に入るか」の目安（68.3%・95.4%・99.7%）

正規分布では、中心 $\mu$ から標準偏差 $\sigma$ の何倍までを見るかで、区間に入る確率の目安が決まります。「平均との差がどれぐらい珍しいか」を考えるときに便利です。

標準正規分布と標準化

平均0、分散1の正規分布を標準正規分布といいます。 正規分布の確率計算は、標準化によって「標準正規分布の確率」に置き換えるのが基本手順 です。

$Z \sim N(0, 1)$

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$ のとき、次の変換で標準正規分布に直します。

$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$

標準正規分布の分布関数を $\Phi(z) = P(Z \leq z)$ と書くことが多いです。 このとき、$X$ の確率は次の形で計算できます。

$P(X \leq x) = \Phi\!\left(\dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$

例として、$X \sim N(60, 10^2)$（平均60、標準偏差10）を仮定し、「80点以上」の確率を考えます。 $Z = \dfrac{X - 60}{10}$ とおくと、$X \geq 80$ は $Z \geq 2$ に対応します。

$P(X \geq 80) = P(Z \geq 2) = 1 - \Phi(2)$

$\Phi(2) \approx 0.977$ なので、確率は約 $0.023$（約2.3%）になります。

正規近似（離散分布を正規分布で近似する）

二項分布は、条件が整うと正規分布で近似できます。 厳密計算が重いときに、概算として使われます。

$\mathrm{Bin}(n, p) \approx N\!\bigl(np,\; np(1-p)\bigr)$

近似を使う目安として、次を満たすかを確認します。

• $np \geq 5$
• $n(1-p) \geq 5$

二項分布は離散型、正規分布は連続型なので、確率を近似するときに「連続性の補正（continuity correction）」を入れる場合があります。 使うかどうかは、求めたい確率が境界付近にあるか、$n$ が十分大きいかで判断します。

期待値と分散

正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ では、パラメータがそのまま期待値と分散になります。

• 期待値：$E[X] = \mu$
• 分散：$V[X] = \sigma^2$

確認ポイント（混同しやすいところ）

• $\sigma$ と $\sigma^2$ を混同していないか → $\sigma$ は標準偏差、$\sigma^2$ は分散です。単位も変わります
• 「確率」と「確率密度」を混同していないか → 連続型では $P(X=x) = 0$ で、確率は区間で考えます
• 68.3%などの目安は「正規分布を仮定したとき」の話か → データがその形に近いかは別途確認します
• 標準化は「平均との差を標準偏差で割る」操作になっているか → $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$ の形を崩さないようにします

まとめ

正規分布は、平均 $\mu$ と分散 $\sigma^2$（標準偏差 $\sigma$）で形が決まる、左右対称の連続分布です。

$\mu \pm 1\sigma$ に約68.3% が入るなど、標準偏差を基準に「どれぐらい珍しいか」を見積もれます。

確率計算は、標準化 $Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$ によって標準正規分布の確率に置き換えるのが基本手順です。

条件が整えば二項分布などを正規分布で近似でき、概算が必要な場面で役に立ちます。 混同しやすい点（$\sigma$ と $\sigma^2$、確率と確率密度、目安の前提）は確認ポイントで整理してください。