密度関数の意味

「高さ」ではなく「面積」で確率を考える

できるようになること

• $f(x)$ が確率ではなく「密度」である理由を単位の観点から説明できる
• $f(x)$ が1を超えても問題ない理由を「面積が1かどうか」で説明できる
• 分布関数と確率密度関数の関係（積分・微分）を説明できる

「密度」とは何か

「人口密度」という言葉を聞いたことがあると思います。 例えば「東京の人口密度は約6000人/km²」のような表現です。

これは「1km²あたり平均6000人いる」という意味であり、「ある1点にいる人数」を表しているわけではありません。 人数を求めるには、面積に密度を掛けます。

確率密度関数の「密度」も同じ考え方です。 グラフの高さを確率だと思いがちですが、確率に対応するのは高さではなく面積 です。

確率密度関数とは何か

連続型確率変数 $X$ について、確率密度関数（probability density function, PDF）$f(x)$ は次の性質を満たす関数です。

1. どの点でも0以上：$f(x) \geq 0$

2. 全体の面積が1：

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1$

3. 区間の確率は、その区間の面積：

$P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$

$f(x)$ は確率ではない（単位で確認）

確率は「無次元（単位なし）」です。一方で、$f(x)$ には単位が付きます。 ここを押さえると、$f(x)$ を確率と混同しにくくなります。

式 $P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx$ を、単位の観点で見ます。

例えば身長（cm）の確率密度関数なら、$f(x)$ の単位は $1/\text{cm}$ です。 幅 $\Delta$（cm）の区間の確率を考えるときに、

$P(x \leq X \leq x + \Delta) \approx f(x) \cdot \Delta$

の形で「確率（無次元）」が計算できる、という意味です。

したがって $f(170) = 0.05$ なら、170cm 付近の幅 $\Delta$ の短い区間に入る確率は、およそ $0.05\Delta$（$\Delta$ は cm）になります。 $f(170)$ 単独で「確率」と読むのではなく、区間とセットで読む のがポイントです。

$f(x)$ が1を超える例（面積が1なら問題ない）

$f(x)$ は確率そのものではないため、1を超えることがあります。 確認すべきなのは「全体の面積が1かどうか」 です。

例えば、区間 $[0, 0.5]$ で一様な分布を考えます。このとき確率密度関数は $f(x) = 2$ になります。

$\int_{0}^{0.5} 2 \, dx = 2 \times 0.5 = 1$

高さは2で1を超えていますが、面積（確率）は1に収まっています。 「高さが1を超えるか」ではなく、「面積が1になっているか」を見ます。

確率密度関数のグラフを読む

確率密度関数のグラフでは、次の対応関係で読みます。

1. 山が高い付近：その付近に確率が多い
2. 山が低い付近：その付近に確率が少ない
3. 区間の確率：その区間の面積

確率密度関数を読み取るときは、次の3点を確認すると整理しやすいです。

• 山の中心がどこか（起こりやすい値の付近）
• 山がどれくらい広がっているか（ばらつきの大きさ）
• 左右の形が似ているか（対称か、偏りがあるか）

分布関数との関係

分布関数 $F(x) = P(X \leq x)$ と確率密度関数 $f(x)$ には、次の関係があります。

分布関数は「左側から $x$ までの面積」：

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$

分布関数の増え方（傾き）が確率密度関数：

$f(x) = F'(x)$

まとめ

確率密度関数 $f(x)$ は、確率そのものではなく「1単位あたりに確率がどれくらい集まっているか」を表します。 区間の確率は $\int_a^b f(x) \, dx$ という面積で求めます。

$f(x)$ には単位があり、1を超えることもあります。 判断は「全体の面積が1かどうか」 で行います。

分布関数 $F(x)$ との関係は次の2式で押さえてください。

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt, \qquad f(x) = F'(x)$