カイ二乗分布

正規分布の2乗の和が作る標本分布

できるようになること

• カイ二乗分布が「標準正規分布の2乗の和」であることを説明できる
• 自由度による分布の形の変化を理解できる
• 標本分散とカイ二乗分布の関係を説明できる

ばらつきを評価するための分布

工場で製品の重さを管理しているとします。平均値は規格通りでも、ばらつき（分散）が大きければ品質に問題があります。

「ばらつきが許容範囲内かどうか」を統計的に判定するには、標本分散がどのような分布に従うかを知る必要があります。ここで登場するのがカイ二乗分布（chi-squared distribution）です。

カイ二乗分布の定義

標準正規分布に従う独立な確率変数 $Z_1, Z_2, \ldots, Z_n$（$n$ は正の整数）があるとき、

$X = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_n^2$

で定義される $X$ は自由度 $n$ のカイ二乗分布に従います。

$X \sim \chi^2(n)$

つまり、カイ二乗分布は標準正規分布を2乗して足し合わせたものです。

自由度とは

パラメータ $n$ を自由度（degrees of freedom）と呼びます。これは「制約条件のもとで独立に値を決定できる変数の数」を意味します。

たとえば自由度3のカイ二乗分布は、標準正規分布3個の2乗和です。自由度が大きくなるほど、足す項が増えるため期待値もばらつきも大きくなります。

カイ二乗分布が成り立つための前提

元のデータが正規分布に従わない場合、カイ二乗分布の結果は正確でなくなります。ただしサンプルサイズが大きい場合は、中心極限定理により近似的に使えることがあります。

分布の形

カイ二乗分布の形は自由度 $n$ によって変わります。

• $n = 1, 2$：$x = 0$ 付近に集中し、右に裾が長い
• $n$ が大きくなる：山型になり、ピークが右に移動
• $n$ が十分大きい：正規分布に近づく（中心極限定理）

2乗の和なので値は常に $0$ 以上であり、分布は右に裾が長い（正の歪度を持つ）形になります。

確率密度関数

自由度 $n$ のカイ二乗分布の確率密度関数は次の式で表されます（$x > 0$）。

$f(x) = \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} x^{n/2 - 1} e^{-x/2}$

この式はガンマ分布 $\mathrm{Gamma}(\alpha, \lambda)$ で $\alpha = n/2$, $\lambda = 1/2$ としたものと一致します。実際の計算では統計ソフトや数表を使うため、この式を直接計算する必要はありません。

期待値と分散

$X \sim \chi^2(n)$ のとき、

• 期待値：$E[X] = n$
• 分散：$\mathrm{Var}(X) = 2n$

導出

各 $Z_i^2$ について、$E[Z_i^2] = 1$（標準正規分布の2次モーメント）です。

$\mathrm{Var}(Z_i^2)$ は、標準正規分布の4次モーメント $E[Z_i^4] = 3$ を使って、

$\mathrm{Var}(Z_i^2) = E[Z_i^4] - (E[Z_i^2])^2 = 3 - 1 = 2$

独立な $n$ 個の和なので、

$E[X] = n \cdot 1 = n$

$\mathrm{Var}(X) = n \cdot 2 = 2n$

例：自由度10のカイ二乗分布なら、$E[X] = 10$、$\mathrm{Var}(X) = 20$（標準偏差 $\approx 4.47$）です。

ガンマ分布との対応確認

$\chi^2(n) = \mathrm{Gamma}(n/2, 1/2)$ なので、ガンマ分布の期待値 $\alpha / \lambda = (n/2) / (1/2) = n$、分散 $\alpha / \lambda^2 = (n/2) / (1/4) = 2n$ と一致します。

標本分散との関係

母集団が正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従うとき、不偏分散

$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$

を使った統計量

$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

は自由度 $n - 1$ のカイ二乗分布に従います。ここで $n$ はサンプルサイズです。

自由度が $n$ ではなく $n - 1$ になるのは、偏差 $X_i - \bar{X}$ の合計が必ず $\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X}) = 0$ となるためです。$n - 1$ 個の偏差が決まれば残り1個は自動的に決まるので、独立に動ける偏差は $n - 1$ 個になります。

この関係は、母分散の区間推定や検定の基盤となります。

他の分布との関係

• $\chi^2(n) = \mathrm{Gamma}(n/2, 1/2)$：ガンマ分布の特殊ケース
• $n = 1$ のとき：$Z^2 \sim \chi^2(1)$（標準正規分布の2乗）

まとめ

カイ二乗分布 $\chi^2(n)$ は、標準正規分布 $n$ 個の2乗の和が従う分布です。

期待値は $n$、分散は $2n$ で、自由度が大きくなるほど山型になり正規分布に近づきます。

母分散の推定・検定の基盤となる重要な分布で、不偏分散との関係 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$ を通じて実際の統計分析で使われます。

t分布・F分布もカイ二乗分布を土台に定義されており、次の単元でその関係を確認します。