分散と標準偏差

平均からのズレの大きさを考える

できるようになること

• 確率分布から分散と標準偏差を計算できる
• $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$ の公式を使って計算を整理できる
• $V[aX + b] = a^2 V[X]$ と $V[X + Y] = V[X] + V[Y]$（独立のとき）を適用条件とともに使える

期待値が同じでも、ばらつきは違います

同じ「平均の金額」になっていても、結果の出方が違うことがあります。 賞金（円）を確率変数 $X$ と $Y$ で表す2つのゲームを比べます。

ゲームX：サイコロを1回振って、1〜2なら500円、3〜4なら1,000円、5〜6なら1,500円の賞金をもらえる

ゲームY：コインを1回投げて、表なら2,000円の賞金がもらえ、裏なら何ももらえない

どちらも期待値（平均）は1,000円になります。

$E[X] = 500 \times \dfrac{1}{3} + 1000 \times \dfrac{1}{3} + 1500 \times \dfrac{1}{3} = 1000$

$E[Y] = 0 \times \dfrac{1}{2} + 2000 \times \dfrac{1}{2} = 1000$

ゲームXは500円・1,000円・1,500円の三択、ゲームYは0円・2,000円の二択です。 この違いを期待値だけで表すのは難しいです。

そこで「平均からどれくらい離れやすいか」を数値で表す指標として、分散と標準偏差 を導入します。

分散とは何か

分散は、平均（期待値）からのズレの大きさを表す指標です。

ズレを $X - E[X]$ で表すと、プラスとマイナスが打ち消し合い、平均すると0になってしまいます。 そこで、ズレを2乗して「大きさ」だけを残します。 その 2乗を、確率で重み付けして平均 したものが分散です。

$V[X] = E\!\left[(X - E[X])^2\right]$

$V[X] = \sum_{\text{すべての } x} (x - E[X])^2 \cdot P(X=x)$

連続型では和（$\sum$）が積分（$\int$）に置き換わりますが、「平均からのズレの2乗を確率（密度）で重み付けして平均する」という考え方は同じです。

分散は $V[X]$ のほかに $\sigma^2$（シグマ二乗）と書くこともあります。

分散を計算してみる

ゲームXの分散

$E[X] = 1000$ なので、平均からのズレは 500円・0円・500円 になります。

$V[X] = (500-1000)^2 \times \dfrac{1}{3} + (1000-1000)^2 \times \dfrac{1}{3} + (1500-1000)^2 \times \dfrac{1}{3}$

$= 250000 \times \dfrac{1}{3} + 0 + 250000 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{500000}{3} \approx 166666.7$

ゲームYの分散

$E[Y] = 1000$ です。平均からのズレは 1000円（0円のとき）と1000円（2000円のとき）になります。

$V[Y] = (0-1000)^2 \times \dfrac{1}{2} + (2000-1000)^2 \times \dfrac{1}{2}$

$= 1000000 \times \dfrac{1}{2} + 1000000 \times \dfrac{1}{2} = 1000000$

ゲームYの方が分散が大きく、「平均から離れた値が出やすい」ことが数値で確認できます。

標準偏差とは何か

分散はズレを2乗しているため、単位が元の変数と変わります。 賞金が「円」でも、分散の単位は「円²」になります。

そこで、分散の平方根を取り、単位を元に戻したものが標準偏差です。

$\sigma = \sqrt{V[X]}$

ゲームXとYの標準偏差は以下のとおりです。

$\sigma_X = \sqrt{\dfrac{500000}{3}} \approx 408.2 \text{（円）}$

$\sigma_Y = \sqrt{1000000} = 1000 \text{（円）}$

標準偏差は「平均からのズレの大きさ」を 元の単位（円）で読み取ることができます。 分散の単位は元の単位の2乗になる点に注意してください。

分散の計算に便利な公式

定義 $V[X] = E[(X-E[X])^2]$ のまま計算すると手間がかかることがあります。 次の公式を使うと計算が単純になる場合があります。

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

導出は次のとおりです。

$V[X] = E\!\left[(X-E[X])^2\right] = E\!\left[X^2 - 2X \cdot E[X] + (E[X])^2\right]$

$= E[X^2] - 2E[X] \cdot E[X] + (E[X])^2 = E[X^2] - (E[X])^2$

分散の性質（よく使う2つ）

1. 定数倍と平行移動

$a$、$b$ を定数とすると、分散は次のように変化します。 $+b$（平行移動）はばらつきに影響しません。 $a$ 倍すると、ばらつきは $a^2$ 倍になります。

$V[aX + b] = a^2 V[X]$

例として、$V[X] \approx 166666.7$ なら、$V[2X+1] \approx 4 \times 166666.7 \approx 666666.8$ になります。

2. 和の分散（独立な場合）

確率変数 $X$ と $Y$ が独立のとき、和の分散は足し算になります。

$V[X + Y] = V[X] + V[Y] \qquad (X \text{ と } Y \text{ が独立のとき})$

まとめ

分散 $V[X] = E[(X-E[X])^2]$ は、平均（期待値）からのズレの大きさを表します。 標準偏差 $\sigma = \sqrt{V[X]}$ は分散の平方根で、元の単位のまま解釈できます。

計算では $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$ が便利な場合があります。

性質を使うときは適用条件を確認してください。

• $V[aX+b] = a^2 V[X]$：定数倍と平行移動（常に成立）
• $V[X+Y] = V[X]+V[Y]$：和の分散（$X$ と $Y$ が独立のときのみ）