独立は何を仮定しているか

便利な反面、取り扱いには注意が必要

できるようになること

• 独立を仮定することで何が計算できるようになるかを説明できる
• 独立が成立しにくい典型パターンを挙げて確認できる
• 実務で独立を仮定したときに残すべきメモの4項目を説明できる

独立と仮定する

次の状況を考えます。

• $P(A) = 0.2$
• $P(B) = 0.3$

このとき、$P(A \cap B)$ は？

ここでよくあるのは、事象 $A$ と事象 $B$ が独立と仮定して、

$P(A \cap B) = P(A)P(B) = 0.2 \times 0.3 = 0.06$

と計算することです。

この計算は非常に便利ですが、独立と仮定してよいかが問題になります。

独立でなかったとき、どれぐらいズレうるか

独立を仮定しない場合、$P(A \cap B)$ がどの範囲の値をとるかを考えます。

$A \cap B \subseteq A$ かつ $A \cap B \subseteq B$ より、

$P(A \cap B) \leq \min\{P(A),\; P(B)\}$

が成り立ちます。

また $A \cup B \subseteq \Omega$ より $P(A \cup B) \leq 1$ が成り立ちます。 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ であるため、$0 \leq P(A \cap B)$ と合わせると、

$\max\{0,\; P(A) + P(B) - 1\} \leq P(A \cap B)$

以上をまとめると、

$\max\{0,\; P(A) + P(B) - 1\} \leq P(A \cap B) \leq \min\{P(A),\; P(B)\}$

となります。先ほどの例に当てはめると、

$0 \leq P(A \cap B) \leq 0.2$

です。

独立 = 情報を与えても確率が変わらない

事象 $A$ と $B$ が独立とは、次のどれかで定義できます（3つは同値です）。

• $P(A \cap B) = P(A)P(B)$
• $P(A|B) = P(A) \quad (P(B) > 0)$
• $P(B|A) = P(B) \quad (P(A) > 0)$

言い換えると、独立を仮定する = B という情報を与えても、A の確率は変わらないということです。

独立を仮定して得るもの／失うもの

得るもの

独立と仮定すると、$P(A \cap B)$ を $P(A)$ と $P(B)$ だけで計算できます。

通常は $A$ と $B$ が同時に起きている様子が分かるデータがないと $P(A \cap B)$ を計算できませんが、このデータの取得は簡単ではありません。

一方で $P(A)$、$P(B)$ であれば、A と B をそれぞれ別々にデータ取得できれば計算できます。実務で独立を仮定することがよくあるのは、このような利便性があるためです。

失うもの

独立を仮定するということは、「A と B は同時に起きやすい／起きにくい」という同時に起きる傾向を、計算上は無視することです。

「B が起きたという情報によって A の確率が変わるかもしれない」という可能性を無視して計算することになります。

独立が成立しにくい典型パターン

パターン1：共通要因がある

A と B が、どちらも別の要因 C によって起きやすく／起きにくくなると、独立が成立しにくくなります。

例：大雪が降ると各種交通機関がマヒしやすくなります。

• 共通要因 C：大雪
• A：電車が遅延する
• B：道路が渋滞する

チェック：両方に同時に影響しそうな要因がないか

パターン2：片方がもう片方に影響する

A が起きることで B が起きやすく／起きにくくなる場合、独立は成立しにくくなります。

例：通知を見たことがアプリを開くきっかけになりえます。

• A：アプリの通知を見た
• B：アプリを開いた

チェック：時間順序があり、「片方がきっかけになり得る」関係になっていないか

パターン3：条件で絞った集団の中を見ている

全体では独立でも、「ある条件を満たすデータだけ」に絞ると独立が成立しないことがあります。

例：採用の応募者全体では以下の A と B が独立とします。

• A：数学が得意
• B：コミュニケーション能力が高い

採用基準 S を「数学が得意 または コミュニケーション能力が高い」とします。 このとき、採用者だけを見ると以下が起こりえます。

• 「数学が得意」で採用された人は「コミュニケーション能力が低い」
• 「コミュニケーション能力が高い」で採用された人は「数学が苦手」

チェック：「～だった人だけ」「～が起きた回だけ」などすでに条件でデータを絞っていないか

パターン4：定義が重なっている

A と B が「別のこと」をいっているようで、実は同じ情報を一部共有していると、独立が成立しにくいです。

例：発熱という軽い条件が、高熱という強い条件に含まれています（高熱の人は発熱している）。

• A：発熱（37.5℃以上）
• B：高熱（39.0℃以上）

チェック：片方の条件が、もう片方の条件の一部になっていないか

パターン5：無作為でない割り当て・選別が入っている

処置やグループ分けがランダムではなく、何かしらの基準で決まっていると、関係性が生まれやすく独立が成立しにくいです。

例：プラン提案が利用状況によって変わっているなら、独立とは限りません。

• A：高いプランを選ぶ
• B：問い合わせ回数が多い

チェック：「誰に何を提示されたか」「誰が選ばれたか」が、行動や属性で変わっていないか

パターン6：同じ対象から複数回データをとっている

データが「人」「端末」「店舗」など同じ単位から複数回出てくると独立が成立しにくいです。

例：同じ人からの連続データは、状態（この場合は忙しさ）を共有しやすく、独立になりにくいです。

• A：今日残業した
• B：明日残業する

チェック：同じ対象から繰り返し出てきたデータになっていないか

独立仮定メモ

独立の仮定は便利ですが、後から「なぜ独立と判断したのか」が分からなくなることがあります。実務で独立を仮定したとき、次の4つを短く書いておくと、後から見直したときに役立ちます。

まとめ

独立とは、情報を与えても確率が変わらない状態をいいます。 $P(A \cap B)$ を観測するのが難しい場面でも、独立を仮定すれば $A$ と $B$ をそれぞれ観測するだけで済みます。

ただし、独立が成立しにくい場合もあります。 独立を仮定するときには、6つの典型パターンをチェックリストとして確認してください。

独立を仮定したときには、根拠・限界・影響・確認の4つについてメモを残しておくと、後で見返したときに迷いが生じにくくなります。