事象の独立

情報が与えられても、確率が変わらないとき

難易度 Lv 3 / 10想定時間：約20分

できるようになること

独立の定義を条件付き確率の言葉で説明できる
$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ を使って独立かどうかを判定できる
独立と排反の違いを説明できる

身近な問い：コイン投げ

コインを2回投げ、結果は順序つきの組で記録します。このとき標本空間は、

$\Omega = \{(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)\}$

と書けます。（H は表、T は裏です。）

このとき、以下の2つの問いについて考えてみてください。

Q1. A：1回目が表、B：2回目が表、としたとき、 $P(A)$ と $P(A \mid B)$ はどのような関係になるでしょうか。

では次はどうでしょうか。

Q2. A：1回目が表、C：2回のうち少なくとも1回は表、としたとき、 $P(A)$ と $P(A \mid C)$ はどのような関係になるでしょうか。

情報が与えられれば、必ず確率が変わるのか

Q1 と Q2 はともに情報が与えられています。違いは与えられている情報の中身です。実際に計算して確認してみましょう。

まず Q1 を考えます。

$P(A) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}, \quad P(B) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}, \quad P(A \cap B) = \dfrac{1}{4}$

なので、

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{1/4}{1/2} = \dfrac{1}{2} = P(A)$

となります。つまりこのケースでは、B という情報を与えても確率が変わりませんでした。

次に Q2 を考えます。

$P(A) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}, \quad P(C) = \dfrac{3}{4}, \quad P(A \cap C) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

なので、

$P(A \mid C) = \dfrac{P(A \cap C)}{P(C)} = \dfrac{1/2}{3/4} = \dfrac{2}{3} \neq P(A)$

となります。今度は、情報を与えることで確率が変わりました。

独立とはなにか

Q1 のように、ある事象 $B$ が起きたとわかっても、事象 $A$ の確率が変わらないことがあります。

この「確率が変わらない」という関係を独立（independence）と呼びます。

独立の定義

事象 $A$ 、 $B$ について、 $P(B) > 0$ のもとで、

$P(A \mid B) = P(A)$

が成り立つとき、 $A$ と $B$ は独立である といいます。

同様に、左右を入れ替えた

$P(B \mid A) = P(B) \quad (P(A) > 0)$

も独立であれば成り立ちます。

よく使う形

確率計算では、次の形を覚えておくと便利です。

$A$ と $B$ が独立のとき、

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$

が成り立ちます。

条件付き確率の定義式に独立の定義 $P(A \mid B) = P(A)$ を代入すると確認できます。

$P(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \Rightarrow P(A \cap B) = P(A)P(B)$

独立かどうかの見分け方（2通り）

次の2つは、どちらも $A$ と $B$ が独立かどうかを確認する方法です。

$P(A \mid B) = P(A)$ あるいは $P(B \mid A) = P(B)$ が成り立つか
$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ が成り立つか

データから確認するときは、2つ目の形の方が計算しやすい場面が多いです。

独立と排反は別物

独立と排反はどちらも $A \cap B$ が出てくるので混同しやすいですが、全くの別物です。

独立：情報を与えても確率が変わらない。 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ が成り立つ
排反：同時に起きない。 $A \cap B = \emptyset$ が成り立つ

Q1 では $A$ と $B$ は独立でしたが、 $A \cap B = \{(H,H)\} \neq \emptyset$ であり、排反ではありません。

また、排反のとき $P(A \cap B) = 0$ となります。 $A$ と $B$ が独立でもあるとすると $P(A)P(B) = 0$ 、つまり $P(A) = 0$ または $P(B) = 0$ が必要になります。

注意

$P(A) > 0$ かつ $P(B) > 0$ のとき、独立と排反は同時には成立しません。

まとめ

情報が与えられても確率が変わらないことを独立と呼びます。

$P(A \mid B) = P(A) \quad (P(B) > 0)$

計算でよく使う形は、

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$

です。

独立かどうかを判断するときの確認ポイントは2つです。

$P(A \cap B) = P(A)P(B)$ が成り立つか
独立と排反を混同していないか（ $P(A) > 0$ かつ $P(B) > 0$ なら両立しない）