排反と確率の足し算

どのようなときに、確率をそのまま足してよいか

できるようになること

• 排反の定義を集合の言葉で説明できる
• 2つの事象が排反かどうかを判定できる
• 排反な事象の確率を加法則を使って計算できる

例題：そのまま足してよいのはどれ？

サイコロを1回振る試行を考えます。

次のペアのうち、「A が起きる確率」と「B が起きる確率」をそのまま足して、「A または B が起きる確率」にしてよいのはどれでしょうか？（複数選択可）

1. A：「1が出る」、B：「2が出る」
2. A：「偶数が出る」、B：「3以下が出る」
3. A：「6が出る」、B：「奇数が出る」

そのまま足せないのはどんな時か

A と B の確率が分かっていると、A または B が起きる確率も足せば出せそうと考えたくなります。

ところが、A と B に共通する結果がある場合、その共通する結果が二重に数えられてしまいます。 そのため、そのまま足すことができません。

排反とは何か

A と B が「同時には起きない」とき、A と B は「排反」（mutually exclusive）であるといいます。 「同時には起きない」であって、「どちらか一方が必ず起きる」ではない点に注意してください。

数学の言葉では、A と B が排反であるとは、共通部分が空集合であることをいいます。

$A \cap B = \emptyset$

ここで重要なのが、排反のときは、そのまま足してよいということです。

$A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

例題の確認

排反かどうかに注目して、先ほどの例題を確認していきます。 標本空間を $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ とします。

(1) A：「1が出る」、B：「2が出る」

$A = \{1\},\quad B = \{2\},\quad A \cap B = \emptyset$

よって、A と B は排反なので、

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}$

と計算できます。

(2) A：「偶数が出る」、B：「3以下が出る」

$A = \{2, 4, 6\},\quad B = \{1, 2, 3\},\quad A \cap B = \{2\}$

2が重複しているため、A と B は排反ではありません。よって、

$P(A \cup B) \neq P(A) + P(B)$

実際に確認すると、

$P(A \cup B) = P(\{1, 2, 3, 4, 6\}) = \dfrac{5}{6}$

となります。重複がある（排反でない）場合は、どれだけ重なるかを別途計算する必要があります。

(3) A：「6が出る」、B：「奇数が出る」

$A = \{6\},\quad B = \{1, 3, 5\},\quad A \cap B = \emptyset$

よって、A と B は排反なので、

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{3}$

と計算できます。

まとめ

A と B に重なりがあるときにそのまま足してしまうと、同じ結果を二重に数えてしまいます。 重なりがない場合には、そのまま足すことができます。

A と B に重なりがない場合を排反といい、$A \cap B = \emptyset$ と表現します。 排反のとき、$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ が成り立ちます。