加法定理

排反でないとき、どう足すか

できるようになること

• 加法定理の式を書いて、「A または B」の確率を計算できる
• 排反のときと排反でないときで計算方法を使い分けられる
• 加法定理を使う前に $P(A \cap B)$ が必要かどうかを判断できる

排反でないときはそのまま足せない

「排反と確率の足し算」の単元では、確率をそのまま足してよいのは排反のときだけ、という話をしました。 排反でないときにそのまま足すと、共通する部分が二重に数えられてしまうからです。

では、排反でないとき $P(A \cup B)$ はどう計算すればよいのでしょうか？

例題：排反でない「または」

A：「偶数が出る」、B：「3以下が出る」

という例を思い出してみましょう。$P(A)$、$P(B)$ はそれぞれ、

$P(A) = \dfrac{3}{6}, \quad P(B) = \dfrac{3}{6}$

と計算できます。ここで $P(A) + P(B)$ とすると、「2」が二重に数えられてしまいます。

$P(A \cup B)$ を正しく計算するには、二重に数えられている部分（共通部分）を引く必要があります。

加法定理

排反でないときの「または」は、共通部分を差し引いて計算します。 これを加法定理（addition rule）といいます。

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

先ほどの例では $A \cap B = \{2\}$ なので、

$P(A \cup B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{3}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$

と計算できます。

加法定理がなぜ成り立つのか

$A \cup B$ は次の3つの排反な部分に分けられます。

$A \cup B = (A \cap B^c) \cup (A^c \cap B) \cup (A \cap B)$

これら3つは互いに排反なので、

$P(A \cup B) = P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) + P(A \cap B)$

また $A$、$B$ はそれぞれ次のように分けられます。以上から、

$P(A \cup B) = P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) + P(A \cap B)$

$= (P(A) - P(A \cap B)) + (P(B) - P(A \cap B)) + P(A \cap B)$

$= P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

が導かれます。

例題2：トランプから1枚引く

52枚のトランプから1枚引くとき、「ハートまたは絵札（J, Q, K）」が出る確率を求めます。

• $A$：ハート → $|A| = 13$（ハートは13枚）
• $B$：絵札 → $|B| = 12$（J, Q, K が各スート4色）
• $A \cap B$：ハートの絵札 → $|A \cap B| = 3$（ハートのJ, Q, K）

$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{12}{52} - \frac{3}{52} = \frac{22}{52} = \frac{11}{26}$

ハートの絵札3枚が共通部分なので、引かないと二重計上になります。

3つ以上の事象の「または」

事象が3つの場合、加法定理は次のように拡張されます（包除原理、inclusion-exclusion principle）。

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

2つずつ重なる部分を引き、3つすべてが重なる部分を足し戻すことで、過不足なく計算できます。事象の数が増えると共通部分の計算が増えるため、排反に分けられないかをまず検討するのが効率的です。

加法定理を使うときの確認ポイント

加法定理を使う場面では、$P(A)$ と $P(B)$ に加えて $P(A \cap B)$ が必要になります。

実務では、$P(A \cap B)$（両方が同時に起きる確率）を求めるデータや情報が手元にないことも多いです。

計算に進む前に次の点を確認してください。

• $A$ と $B$ は排反か？（排反なら $P(A \cap B) = 0$ なのでそのまま足せる）
• 排反でないなら、$P(A \cap B)$ を別途求められるか？

よくある誤解

「排反でないのにそのまま足してしまう」

加法定理を忘れて $P(A) + P(B)$ だけで計算してしまうミスは非常に多いです。特に、2つの事象が「一見被らなそう」に見えるときに起きやすいです。計算に入る前に必ず、$A \cap B$ が空集合かどうかを確認してください。

「$P(A \cap B)$ を引けば常に正しい」

加法定理の式は正しいですが、$P(A \cap B)$ の値を間違えると意味がありません。$P(A \cap B)$ を求めるためには、$A$ と $B$ が独立かどうかの判断（詳しくは「事象の独立」の単元）や、条件付き確率の知識が必要になる場合があります。

まとめ

排反と排反でない場合をまとめると、排反（$A \cap B = \emptyset$）のときは $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$、排反でない（$A \cap B \neq \emptyset$）のときは $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ となります。

「A または B」の確率を求めるときは、まず排反かどうかを確認してから計算に入ることが大切です。 排反でない場合は $P(A \cap B)$ が追加で必要になります。3つ以上の事象では包除原理を使います。