包除原理

3つ以上の「または」を、重なりを正しく処理して数える

できるようになること

• 3つの事象の「または」の確率を、包除原理を使って計算できる
• ベン図を使って「足して引いて足し戻す」パターンを説明できる
• 包除原理と余事象アプローチを場面に応じて使い分けられる

全体で何人にリーチできたのか？

あなたはWebマーケティングの担当者で、新商品のキャンペーンを3つの広告チャネルで展開しました。

• SNS広告（$A$）：3,000人にリーチ
• 検索広告（$B$）：2,500人にリーチ
• 動画広告（$C$）：2,000人にリーチ

「合計7,500人にリーチできた！」と報告したくなりますが、本当にそうでしょうか？

実際には、同じユーザーが複数のチャネルで広告を目にしていることがあります。重複を無視して足すだけでは、リーチ数を水増しすることになってしまいます。

この「重複のある数え上げ」を正確に処理する方法が、包除原理（inclusion-exclusion principle）です。

加法定理の振り返り

「加法定理」の単元で、2つの事象の「または」を次のように計算しました。

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$P(A) + P(B)$ とそのまま足すと、共通部分 $A \cap B$ が二重に数えられてしまいます。だから $P(A \cap B)$ を1回引いて修正する、という考え方でした。

では、事象が3つになるとどうなるでしょうか？

3事象の包除原理

3つの事象 $A$、$B$、$C$ の「いずれかが起きる確率」は、次の式で計算します。

$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$

なぜ「2つずつの重なりを引く」だけでなく、最後に $P(A \cap B \cap C)$ を足し戻すのでしょうか？3つの円が重なるベン図をイメージしながら、ステップごとに確認してみましょう。

ステップ1：全部足す

$P(A) + P(B) + P(C)$ と足すと、ちょうど2つの事象だけに属する部分は2回、3つすべてに属する部分は3回数えられてしまいます。

ステップ2：2つずつの重なりを引く

$P(A \cap B) + P(A \cap C) + P(B \cap C)$ を引きます。ちょうど2つだけに属する部分は、この3つの項のうち1つだけに含まれるため、二重計上が解消されて正しく1回になります。

しかし、3つすべてが重なる部分は $A \cap B$、$A \cap C$、$B \cap C$ の3か所すべてに含まれているため、ステップ1で3回足されたものがここで3回引かれ、差し引き0回になってしまいます。

ステップ3：3つの重なりを足し戻す

3つすべてが重なる部分が消えてしまったので、$P(A \cap B \cap C)$ を1回足し戻して修正します。

この「足す → 引く → 足し戻す」のパターンが、包除原理の核心です。

Web広告の例を計算する

ここまでは確率 $P$ の式として包除原理を説明しましたが、「足して引いて足し戻す」ルールは人数（集合の要素数）を数えるときにもまったく同じ形で成り立ちます。

先ほどのキャンペーンで、チャネル間の重複について以下のデータが得られたとします。対象ユーザーは全体で10,000人です。

包除原理を適用すると、少なくとも1つのチャネルに接触した人数は、

$3{,}000 + 2{,}500 + 2{,}000 - 800 - 500 - 400 + 100$

$= 7{,}500 - 1{,}700 + 100 = 5{,}900$

となります。最初の「7,500人」は重複込みの数字であり、重なりを正しく処理すると5,900人が実際のリーチ数です。

確率で表すと、ランダムに選んだ1人のユーザーが少なくとも1つのチャネルに接触している確率は、

$P(A \cup B \cup C) = \dfrac{5{,}900}{10{,}000} = 0.59$

です。つまり、4,100人（41%）はどの広告にも接触していなかったことが分かります。

余事象アプローチとの使い分け

「少なくとも1つが起きる確率」を求めたいとき、包除原理のほかに余事象を使う方法があります。

$P(\text{少なくとも1つ}) = 1 - P(\text{どれも起きない})$

先ほどのWeb広告の例では、各チャネルの重複データがすべて揃っていたので、包除原理で直接計算できました。一方、重複が分からなくても「どれにも接触しなかった人数」が分かっていれば、余事象の方がずっと簡単です。

余事象が特に有効な場面

3つのサイコロを同時に振って、少なくとも1つが6になる確率を求めてみましょう。1個目のサイコロが6になる事象を $A$、2個目を $B$、3個目を $C$ とします。

包除原理で計算してみます。サイコロの出目は互いに影響しないので、$A$、$B$、$C$ は独立です（詳しくは「事象の独立」の単元を参照）。独立な事象では $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$ のように掛け算で求められます。単独の事象は3つ、2つの重なりは3通り（$A \cap B$、$A \cap C$、$B \cap C$）あるので、

$P(A \cup B \cup C) = 3 \times \dfrac{1}{6} - 3 \times \dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{216} = \dfrac{108 - 18 + 1}{216} = \dfrac{91}{216}$

余事象で計算すると、

$1 - P(\text{どれも6でない}) = 1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^3 = 1 - \dfrac{125}{216} = \dfrac{91}{216}$

どちらも同じ答えですが、余事象の方が計算がずっと簡潔です。

一般のn事象への拡張

包除原理は、任意の $n$ 個の事象に拡張できます。

$P\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \sum_{i} P(A_i) - \sum_{i < j} P(A_i \cap A_j) + \sum_{i < j < k} P(A_i \cap A_j \cap A_k) - \cdots + (-1)^{n-1} P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n)$

パターンは同じです。1つずつの確率を全部足す → 2つずつの重なりを全部引く → 3つずつの重なりを全部足す → …と、足す・引くの符号が交互に入れ替わります。

事象の数が増えると、1つずつ、2つずつ、3つずつ…と考えるべき項の総数が $2^n - 1$ 個に達するため、実務で4事象以上の包除原理を直接使うことは稀です。多くの場合、余事象アプローチや独立性の仮定を活用して計算を簡略化します。

よくある誤解

「2つずつの重なりを引けば十分」

3事象の場合、$P(A \cap B)$、$P(A \cap C)$、$P(B \cap C)$ を引いただけでは不十分です。3つすべてが重なる部分はステップ1で3回足され、ステップ2で3回引かれて消えてしまいます。$P(A \cap B \cap C)$ の足し戻しを忘れると、答えが小さくなってしまいます。「引く」だけでなく「足し戻す」がセットであることを意識してください。

「独立だから $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ で計算すればよい」

包除原理を使うには各重なりの確率が必要ですが、データが手元にないとき「独立を仮定して掛け算で求めよう」と安易に進めてしまうことがあります。しかし、実際には事象が独立でないケースは多いです（例：SNS広告を見る人は動画広告も見やすい、など）。独立の仮定が大きな誤差を生むこともあるため、重なりのデータが揃っていないときは、その仮定が妥当かを慎重に検討するか、余事象アプローチで回避できないかを考えましょう。

まとめ

包除原理は、「加法定理」を3つ以上の事象に拡張したものです。2事象では「足して引く」だけで済みましたが、3事象では「足して引いて足し戻す」必要があります。これは、2つずつの重なりを引くと3つすべてが重なる部分まで消えてしまうことを修正するためです。「少なくとも1つ」の確率を求めるときは余事象アプローチも有力な選択肢で、特に事象が独立な場合は掛け算で簡潔に計算できます。問題を見て「包除原理で直接計算するか、余事象で回り道するか」を判断できるようになることが、この単元のゴールです。